TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS: Movimientos en el plano.

Apuntes de la web "las láminas.es"sobre las transformaciones geométricas que veremos este año. No obstante la proporcionalidad entre segmentos la dejaremos para el curso que viene, aunque venga en los apuntes, así como la mayoría de casos de equivalencia. Enlace. Por cierto, cuidado con el pequeño despiste que hay en la página homotecia-semejanza, en la 3ª hoja, pues la razón de semejanza de los triángulos más cercanos al centro es de 1/2 y -1/2, y no de 2/1 y -2/1.

VÍDEO SOBRE MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Os dejo el enlace al vídeo que vimos en clase pero espero que esta vez tenga mejor calidad de imagen y sonido puesto que esta vez no es de youtube sino de la página de rtve. Enlace a vídeo

• Transformación geométrica es la operación que permite deducir una nueva figura de otra dada. Por tanto existirán elementos de origen y elementos transformados.

• Clasificación:

• a) Transformaciones ISOMÉTRICAS: conservan las dimensiones y los ángulos entre la figura original y la transformada. También se llaman movimientos: Igualdad, traslación, giro y simetría (axial y central).
• b) Transformaciones ISOMÓRFICASo conformes: son aquellas que sólo conservan la forma, es decir, en ellas los ángulos de la figura original y de la transformada son iguales y las longitudes proporcionales: Homotecia y semejanza. Las figuras homotéticas son siempre semejantes.
• c) Transformaciones ANAMÓRFICAS: Son aquellas que cambian la forma entre la figura original y la transformada: Equivalencia, inversión y homología (afinidad como caso especial de homología)

En 1º estudiaremos las transformaciones isométricas y las isomórficas, aunque se explicarán también un par de casos de equivalencia. Vamos una por una:

• TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS:

• IGUALDAD : Dos figuras son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales y están igualmente dispuestos.
• Obtención de figuras iguales:

1. Por triangulación de la figura. Enlace a vídeo
2. Por radiación desde un punto interior. Enlace a vídeo
3. Por coordenadas (ayuda de una recta exterior). Enlace a vídeo
4. Por copia de ángulos o rodeo. Enlace a vídeo
5. Por traslación ,giro y simetría central de una figura también se obtienen figuras iguales. Si distinguimos entre igualdad e identidad, mediante simetría axial se obtendrán figuras iguales pero no idénticas.

• TRASLACIÓN O DESPLAZAMIENTO: Para trasladar una figura sólo hay que desplazar cada uno de sus puntos en la misma dirección y sentido una misma distancia. Se eligen los vértices de la figura o el centro del arco o circunferencia si lo hubiese. En la fotocopia se explica.Enlace a vídeo
• SIMETRÍA AXIAL: Enlace a vídeo. Para hallar el eje de simetría de dos puntos simétricos (o de dos figuras) sólo hay que hacer la mediatriz del segmento acotado por dichos puntos.
• SIMETRÍA CENTRAL:Enlace a vídeo. Para hallar el centro de simetría de dos puntos sólo hay que hallar el punto medio del segmento. Si te dan, por ejemplo, dos segmentos simétricos AB y A´B´, se unen A con A´y B con B´, siendo la intersección el centro de simetría.
• GIRO O ROTACIÓN: En esta ocasión la figura se desplaza girando alrededor de un punto.Enlace a vídeo. Si tienes que hallar el centro de giro se procede como en este Enlace a vídeo. En la lámina que os he dado sobre giros también se explica, en el ejercicio 6 en concreto.

TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS:

• HOMOTECIA: Enlace a vídeo de homotecia directa. Enlace a vídeo de homotecia inversa. Enlace a apuntes (son los mismos que para semejanza)
• SEMEJANZA: Enlace a apuntes.
• TRANSFORMACIONES ANAMÓRFICAS:
• EQUIVALENCIA: El caso del triángulo con la misma altura y base lo tenéis en la fotocopia de transformaciones geométricas.

POLÍGONOS REGULARES

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES:

Podemos dibujar polígonos regulares teniendo como único dato el lado o bien teniendo como dato la circunferencia circunscrita. Este último caso equivale a la división de la circunferencia en partes iguales, siendo los vértices del polígono dichas divisiones.
Los procedimientos usados pueden ser particulares ( sólo sirven para un único polígono) o generales ( es el mismo para todos los polígonos con ligeras variaciones).
Aunque tengáis las fotocopias os dejaré algunos enlaces.

• MÉTODOS PARTICULARES:
• Construcción de polígonos regulares dado el lado :
• Triángulo dado el lado. Se trata, al ser un polígono regular, de un triángulo equilátero. Enlace a vídeo
• Cuadrado dado el lado. Enlace a vídeo
• Pentágono dado el lado. Su lado y su diagonal están en proporción áurea, así que su construcción se basa en la del rectángulo áureo (siendo el lado del cuadrado el lado del pentágono y su diagonal el lado del rectángulo.) Enlace y Enlace a vídeo
• Hexágono dado el lado. Construcción relacionada con el triángulo
• Heptágono dado el lado. Enlace a vídeo
• Octógono dado el lado. Enlace a vídeo
• Eneágono dado el lado (lo veremos si tenemos tiempo, si no se usará el método general
• Construcción de polígonos regulares dada la circunferencia circunscrita ( Por tanto tenemos que dibujar el polígono inscrito) Enlace1 y Enlace 2
• Triángulo inscrito. Similar construcción para triángulo y heptágono inscritos. Enlace a vídeo
• Cuadrado inscrito . Similar construcción para cuadrado y octógono inscritos. Enlace a vídeo
• Pentágono inscrito. Enlace a vídeo
• Hexágono inscrito. Radio de la circunferencia igual al lado del hexágono. Enlace a vídeo
• Heptágono inscrito. Para una misma circunferencia, el lado del heptágono es la mitad del lado del triángulo. Enlace a vídeo
• Octógono inscrito. Basado en la construcción del cuadrado. Enlace a vídeo
• Eneágono inscrito. (Lo veremos en clase si tenemos tiempo, si no se usará el método general, de todos modos os dejo un Enlace a vídeo )
• Decágono inscrito. Misma construcción que el pentágono inscrito. Enlace a vídeo
• Dodecágono inscrito. Basado en la construcción del hexágono, aunque también podemos utilizar la trisección del ángulo recto. Enlace a vídeo

MÉTODOS GENERALES DE CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS:

• Construcción de polígonos regulares dado el lado.
• Construcción de polígonos regulares inscritos (dada la circunferencia circunscrita) Enlace a vídeo

POLÍGONOS ESTRELLADOS
Enlace a vídeo donde se explica lo que es el género, la especie y el paso de un polígono estrellado.
De todos modos tenéis los apuntes dados en clase.
Quedan pendientes las soluciones de la fotocopia.

RECTÁNGULO ÁUREO

Construcción de un rectángulo áureo a partir de un cuadrado

CUADRILÁTEROS : PARALELOGRAMOS Y NO PARALELOGRAMOS (TRAPECIOS YTRAPEZOIDES)

CUADRILÁTEROS: Clasificación y características (fotocopia dada en clase).

Ángulos suplementarios, que son los que suman 180º y ángulos complementarios, que son los que suman 90º.

Enlace a teoría de cuadriláteros

Averigua lo que sabes sobre cuadriláteros. Enlace

Algunas construcciones de cuadriláteros. Enlace1 y Enlace 2


Clasificación y características de los paralelogramos

Construcción de paralelogramos:

CUADRADO:

• Cuadrado dado el lado. Enlace1 y Enlace 2
• Cuadrado dada su diagonal. Enlace
• Cuadrado dada la circunferencia circunscrita. Enlace

RECTÁNGULO:

• Rectángulo dados dos lados. Enlace
• Rectángulo dado un lado y la diagonal. Enlace
• Rectángulo dada la diagonal y el ángulo que forman las diagonales.
• Rectángulo áureo a partir de un cuadrado. Enlace

ROMBO:

• Rombo cualquiera dado el lado ( distintos resultados según el ángulo que pongas, en realidad necesitas otro dato). Igual que el siguiente pero el ángulo lo pones tú.
• Rombo dado el lado y el ángulo comprendido entre ellos. Enlace
• Rombo dada la diagonal y un lado. Enlace
• Rombo dadas las diagonales. Enlace
• Rombo dada la diagonal y el ángulo opuesto. Enlace
• Rombo dado un lado y la altura. De momento no encuentro el enlace, pero es igual que el romboide dados los lados y la altura, pero usando una única medida para el lado.

ROMBOIDE:

• Romboide dados dos lados ( distintos resultados según el ángulo que pongas, en realidad necesitas otro dato).Igual que el siguiente pero el ángulo lo pones tú.
• Romboide dados los lados y el ángulo comprendido. Enlace
• Romboide dados los lados y la altura de un lado. Enlace1 y Enlace 2
• Romboide dados los lados y una diagonal. Enlace



 

Construcción de trapecios:

Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos llamados bases. Los podemos clasificar en trapecios rectángulos, isósceles y escalenos.

• Trapecio rectángulo dadas las bases y la altura. Enlace a vídeo
• Trapecio rectángulo dada la base y dos lados.
• Trapecio rectángulo dadas las bases y la diagonal mayor.
• Trapecio isósceles dadas las bases y la altura. Enlace
• Trapecio isósceles dada la base, un lado y una diagonal. Enlace
• Trapecio escaleno dados la base, dos lados y la altura
• Trapecio escaleno dadas la base mayor, la altura y las dos diagonales.

Construcción de trapezoides:

Los trapezoides son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo. Los podemos clasificar en trapezoides rectángulos, trapezoides bisósceles y trapezoides escalenos.

• Trapezoide dados tres lados y dos ángulos.
• Trapezoide dados tres lados y dos diagonales

TRIÁNGULOS 1º BACHILLERATO

Aquí os dejo lo que hemos visto en clase de triángulos en una única entrada

TRIÁNGULOS: Clasificación según sus lados y según sus ángulos. Se nombran sus lados con letra minúscula y en sentido antihorario. Los vértices en la misma letra, esta vez en mayúscula, del lado opuesto. En ocasiones puedes encontrarlos nombrados en sentido horario, pero nosotros usaremos el sentido contrario.



Clasificación de los triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos

ENLACE GENERAL SOBRE TRIÁNGULOS Y SUS CONSTRUCCIÓN

Segmentos y puntos notables de los triángulos: Enlace 1 ,Enlace 2 y Enlace 3 a vídeo.

Construcción de triángulos equiláteros: Enlace

• Triángulo equilátero conocido el lado. Enlace
• Triángulo equilátero conocido el radio de la circunferencia circunscrita. Enlace
• Triángulo equilátero conocida su altura. Enlace

Construcción de triángulo isósceles: En los ejercicios de clase y exámenes, llamaremos habitualmente base al lado desigual (a), que situaremos horizontal salvo excepciones. Los lados pueden venir nombrados como a, b y c, o por los vértices AB, BC y CA. Hay que saber adaptarse al enunciado y dibujar siempre un triángulo "tipo" donde situaremos los datos que nos ayuden a resolver el trazado. Enlace con la resolución paso a paso de triángulos isósceles, aunque tendrás que buscarlos.

• Triángulo isósceles dadas la base y un lado igual. (Los datos son la medida del lado a y del lado b o c, puesto que miden lo mismo). Enlace
• Triángulo isósceles dadas la base y la altura de la base. (Los datos son la medida del lado a y de la altura ha). Enlace1 y Enlace 2 a vídeo
• Triángulo isósceles dadas la altura de la base y el lado igual. (Los datos serían la altura ha y el lado b o c). Sobre una recta horizontal se levanta una perpendicular sobre la que llevaremos la medida de la altura de a. Con centro el extremo de la altura y con la medida del lado b, haremos un arco que cortará a la recta horizontal en dos puntos, que serán los vértices del triángulo que nos quedan por encontrar.
• Triángulo isósceles dadas la base y el ángulo opuesto. ( los datos serían la base a y el ángulo A). Resolver por arco capaz del lado a para el ángulo A. Enlace a vídeo. Se resuelve igual aunque en el vídeo se ha llamado a la base be en lugar de a.
• Triángulo isósceles dadas la base y el ángulo igual. (Los datos serían la base a y el ángulo adyacente a la base B o C). Enlace
• Triángulo isósceles dados un lado igual y el ángulo desigual. (los datos serían el lado b o c y el ángulo A) ¡Recuerda tumbar el triángulo!!! Enlace. (Es a partir de la diapositiva 8).
• Triángulo isósceles conocidos un lado igual y un ángulo igual. (Los datos serían el lado b o el lado c y el ángulo B o C. Enlace ( Es a partir de la diapositiva 19).
• Os dejo uno extra en este enlace

• Construcción de triángulos escalenos:
• Triángulo escaleno conocidos los tres lados. Enlace
• Triángulo escaleno dados el lado a, el ángulo A y la mediana de a (ma), es decir, dado un lado, su mediana y su ángulo opuesto. Enlace a vídeo
• Triángulo escaleno conocido un lado y el ortocentro.Enlace a vídeo.
• Triángulo escaleno dado el lado a, el ángulo A y la altura de a (ha). Enlace a vídeo
• Triángulo escaleno dado el lado a, el ángulo A y el lado b ( o si no el lado c), es decir, dado un lado y su ángulo opuesto y el otro lado. Enlace a vídeo
• Triángulo escaleno dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (Por ejemplo lado a y b y ángulo C). Enlace a vídeo

• Construcción de triángulos rectángulos: Como hemos visto en clase, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. En los ejercicios de clase y exámenes, llamaremos habitualmente a la hipotenusa a, y a los catetos b y c.

• Triángulo rectángulo conocidos los catetos b y c. Enlace a vídeo.
• Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y un cateto. Método 1 Enlace a vídeo ¡OJO! EN EL VÍDEO LAS LETRAS ESTÁN SITUADAS EN SENTIDO HORARIO.
• Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y un cateto. Método 2, mediante arco capaz. Enlace a vídeo.
• Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y un ángulo adyacente. Enlace
• Triángulo rectángulo dado un cateto y el ángulo opuesto a dicho lado. Por arco capaz del cateto para el ángulo opuesto.
• Triángulo rectángulo dado un cateto y el ángulo adyacente a dicho lado. Situar el cateto, sobre un extremo del mismo el ángulo recto y sobre el otro extremo el ángulo y prolongar.
• Triángulo rectángulo conocido un cateto y la mediana del mismo.

Si los datos son el cateto c y su mediana mc,  la resolución del triángulo es muy sencilla

ENLACE GENERAL SOBRE TRIÁNGULOS Y SUS CONSTRUCCIÓN